Nació en Algeria y se radicó en Italia, donde completó sus estudios avanzados junto al tenor Franco Corelli y la soprano Ghena Dimitrova. Inició la temporada 2017-2018 con el lanzamiento del disco Romanza para el sello Deutsche Grammophon, que grabó junto a su esposa, la soprano Anna Netrebko. Giraron juntos por Asia, Australia y Nueva Zelanda. Luego Eyvazov debutó en el Teatro alla Scala abriendo la temporada en el rol de Andrea Chenier, en la ópera homónima. Des Grieux (Manon Lescaut) en el Teatro Bolshoi, Hermann (La Dama de Pique), Don Carlo en la obra homónica fueron otros de sus recientes trabajos. Esta temporada también abarca su debut en el Covent Garden como Macduff (Macbeth), en la Staatsoper Berlin (Tosca) y en la Ópera Nacional de París (Il Trovatore), además de conciertos en Montecarlo, Moscú, Minsk, Londres, Baden Baden y Salzburgo. Lo trae a Buenos Aires una extensa gira latinoamericana que incluye además presentaciones en Santiago de Chile, San Pablo y Lima.
